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Ce livre a pour but de présenter un enseignement à la fois global, précis et moderne sur les bases de la théorie des systèmes linéaires continus y compris les boucles d’asservissement et de régulation. Il s’adresse en conséquence aux étudiants et aussi aux ingénieurs dans le domaine des sciences et techniques.

Cet ouvrage peut servir soit de manuel devant accompagner un cours magistral sur la théorie des systèmes linéaires continus, soit d’un outil pédagogique permettant de renforcer les connaissances acquises sur ce sujet.

Il est l’aboutissement de plusieurs années d’expérience professionnelle dans l’enseignement des systèmes asservis, pendant lesquelles il s’avérait nécessaire de s’attarder sur les points suivants pour une meilleure compréhension du sujet :

  • Garder l’aspect général de la théorie qui s’applique à n’importe quel système de commande, tout en évitant le flot de détails et en mettant l’accent sur les considérations pratiques liées à la réalité industrielle. 

  • Solliciter l’intérêt du lecteur en l’invitant à concrétiser les acquis théoriques à travers les nombreux exercices et problèmes concrets proposés à la fin de chaque chapitre.

Cet ouvrage est organisé en plusieurs chapitres :

Le premier chapitre est un chapitre introductif aux asservissements et aux de boucles de régulation. Son objectif est par conséquent de soulever la problématique posée dans la commande des systèmes bouclés et de formuler le souci de l’automaticien en termes de performance. Le second chapitre permet d’introduire les notions de base et l’ensemble des outils nécessaires pour pouvoir appréhender la théorie des systèmes linéaires continus. Le chapitre trois est consacré à l’analyse des systèmes dans le domaine temporel et le domaine fréquentielle en soulignant d’une part la complémentarité de l’analyse dans ces deux domaines et en montrant d’autre part l’intérêt de cette analyse pour les systèmes asservis. Le chapitre quatre fait l’objet de l’étude de stabilité des systèmes bouclés. Les différents critères ainsi que les différentes marges de stabilité seront donnés. On mettra le lien entre la notion de marge de stabilité et le comportement transitoire. La précision des systèmes asservis ou régulés est traitée de manière séparée dans le chapitre cinq. Enfin, le dernier chapitre est consacré à la synthèse des régulateurs PID où des méthodes de calcul de ses paramètres sont largement abordées et analysées.

Le souci de rapprocher le lecteur de la réalité industrielle est constamment présent. A la fin de chaque chapitre, une série d’exercices et des problèmes non résolus sont proposés. Ils sont tous à caractère applicatif et soigneusement élaboré avec une difficulté plus ou moins progressive. Le lecteur est invité à les traiter pour une meilleure maîtrise des connaissances théoriques qu’il aura acquise à travers les différents chapitres.

Je voudrais exprimer ma reconnaissance à tous ceux qui ont aidé à la préparation du manuscrit et plus particulièrement Diouri Mohamed, président de l’IGA, et aussi pour l’intérêt qu’il a manifesté  pour la réalisation  de ce livre.

 

AVANT PROPOS

 

CH. 1.

Notions de système asservi

 

1.1.

régulation et asservissement

 

 

1.1.1.

Régulation

 

 

1.1.2.

Asservissement

 

1.2.

structure de la commande en boucle fermée

 

 

1.2.1.

Constituants

 

 

1.2.2.

Informations

 

 

1.2.3.

Fonctionnement

 

1.3.

Un exemple industriel : régulation de vitesse 

 

1.4.

les principaux concepts d’asservissement et de   régulation

 

 

1.4.1.

La précision

 

 

 

1.4.1.1.

La précision permanente

 

 

 

1.4.1.2.

La précision dynamique

 

 

1.4.2.

La stabilité

 

 

1.4.3.

Le comportement transitoire

 

 

 

1.4.3.1.

Le dépassement

 

 

 

1.4.3.2.

La rapidité

 

 

 

 

 

CH. 2.

Systèmes linéaires continus et invariants

 

2.1.

notions de système

 

 

2.1.1.

Définitions

 

2.2.

système linéaire continu et invariant

 

 

2.2.1.

Système linéaire

 

 

 

2.2.1.1.

Principe de proportionnalité

 

 

 

2.2.1.2.

Principe d’additivité

 

 

 

2.2.1.3.

Caractéristique statique d’un système linéaire

 

 

 

2.2.1.4.

Réponse permanente d’un système linéaire

 

 

2.2.2.

Systèmes continus

 

 

2.2.3.

Système invariant

 

2.3.

rappel de la transformée de laplce

 

 

2.3.1.

Définition

 

 

2.3.2.

Transformées de Laplace des fonctions usuelles

 

 

2.3.3.

Quelques propriétés de la transformée de Laplace

 

 

2.3.4.

Transformée de Laplace inverse

 

 

 

2.3.4.1.

Définition

 

 

 

2.3.4.2.

Quelques propriétés de la transformée inverse

 

 

 

2.3.4.3.

Exemples de transformées de Laplace inverse

 

 

2.3.5.

Table de la transformée de Laplace

 

 

2.3.6.

Applications de la transformation de Laplace

 

 

 

2.3.6.1.

Résolution des équations différentielles

 

 

 

2.3.6.2.

Application à l’étude des circuits électriques linéaires

 

2.4.

représentation des systèmes

 

 

2.4.1.

Représentation par schéma physique

 

 

2.4.2.

Représentation selon la norme ISA

 

 

2.4.3.

Représentation par les équations différentielles

 

 

2.4.4.

Représentation par fonction de transfert à partir d’une équation différentielle

 

 

2.4.5.

Représentation par le schéma fonctionnel

 

 

 

2.4.5.1.

Représentation par le schéma fonctionnel

 

 

 

2.4.5.2.

Manipulations sur les schémas blocs

 

 

 

2.4.5.3.

Schéma canonique d’un système asservi

 

 

 

2.4.5.4.

Exemples de transformation des schémas fonctionnels.

 

2.5.

etude des systèmes dynamiques - signaux canoniques d'entrée

 

 

2.5.1.

Signal échelon

 

 

2.5.2.

Signal rampe

 

 

2.5.3.

Signal impulsion de Dirac

 

 

2.5.4.

Signal sinusoïdal

 

2.6.

exercices non résolus

 

 

2.6.1.

Exercices relatifs à la transformée de Laplace et ses applications

 

 

2.6.2.

Exercices relatifs aux schémas fonctionnels

Exercice 1: Réduction de schéma fonctionnel

Exercice 2 : Régulation de niveau

Exercice 3 : Etude d’un servomécanisme

Exercice 4 : Régulation de température

Exercice 5 : Comparaison entre commande en boucle ouverte et commande en boucle fermée

CH. 3.

ANALYSE TEMPORELLE ET FREQUENTIELLE DES SYSTEMES LINEAIRES

 

3.1.

introduction

 

3.2.

analyse temporelle des systèmes linéaires

 

 

3.2.1.

Le régime transitoire et le régime permanent

 

 

3.2.2.

Le régime libre et le régime forcé

 

 

3.2.3.

Application aux systèmes du premier ordre

 

 

 

3.2.3.1.

Définition d’un système du premier ordre

 

 

 

3.2.3.2.

Fonction de transfert

 

 

 

3.2.3.3.

Schéma bloc

 

 

 

3.2.3.4.

Réponse indicielle

 

 

 

3.2.3.5.

Etude de la réponse indicielle

 

 

 

3.2.3.6.

Temps de réponse

 

 

 

3.2.3.7.

Exemples de système du premier ordre

 

 

3.2.4.

Application aux systèmes du second ordre

 

 

 

3.2.4.1.

Définition d’un système du second ordre

 

 

 

3.2.4.2.

Fonction de transfert

 

 

 

3.2.4.3.

Schéma bloc

 

 

 

3.2.4.4.

Réponse indicielle

 

 

 

3.2.4.5.

Temps de réponse

 

 

 

3.2.4.6.

Exemple de système du deuxième ordre

 

 

3.2.5.

Applications aux systèmes d’ordre supérieur à deux

 

 

 

3.2.5.1.

Cas de pôles réels

 

 

 

3.2.5.2.

Cas de pôles complexes106

 

 

3.2.6.

Application aux systèmes à retard

 

 

 

3.2.6.1.

Réponse d’un retard pur

 

 

 

3.2.6.2.

Réponse d’un système à retard

 

3.3.

analyse fréquentielle des systèmes linéaires

 

 

3.3.1.

Réponse fréquentielle

 

 

3.3.2.

Fonction de transfert complexe

 

 

3.3.3.

Lieux de transfert

 

 

 

3.3.3.1.

Diagramme de Bode

 

 

 

3.3.3.2.

Diagramme de Nyquist

 

 

 

3.3.3.3.

Diagramme de Black

 

 

3.3.4.

Application aux systèmes du premier ordre

 

 

 

3.3.4.1.

Fonction de transfert complexe

 

 

 

3.3.4.2.

Diagrammes de Bode

 

 

 

3.3.4.3.

Diagramme de Nyquist

 

 

 

3.3.4.4.

Diagramme de Black

 

 

 

3.3.4.5.

Exemple de système du premier ordre

 

 

3.3.5.

Application aux systèmes du second ordre

 

 

 

3.3.5.1.

Fonction de transfert complexe

 

 

 

3.3.5.2.

Diagramme de Bode

 

 

 

3.3.5.3.

Diagramme de Nyquist

 

 

 

3.3.5.4.

Diagramme de Black

 

 

 

3.3.5.5.

Synthèse des résultats

 

 

 

3.3.5.6.

Exemple de système du deuxième ordre

 

 

3.3.6.

Application aux systèmes intégrateurs

 

 

 

3.3.6.1.

Diagramme de Bode

 

 

 

3.3.6.2.

Diagramme de Nyquist

 

 

 

3.3.6.3.

Diagramme de Black

 

 

3.3.7.

Applications aux systèmes à retard

 

 

 

3.3.7.1.

Cas d’un retard pur

 

 

 

3.3.7.2.

Cas d’un système à retard

 

 

3.3.8.

Applications aux systèmes d’ordre supérieur à deux

 

3.4.

relation temps-fréquence

 

3.5.

applications aux systèmes asservis

 

3.6.

introduction a l’identification

 

 

3.6.1.

Application aux systèmes d’ordre 1

 

 

 

3.6.1.1.

Identification à partir de la réponse indicielle

 

 

 

3.6.1.2.

Identification à partir de la réponse fréquentielle

 

 

3.6.2.

Application aux systèmes d’ordre 2

 

 

 

3.6.2.1.

Identification à partir de la réponse indicielle

 

 

 

3.6.2.2.

Identification à partir de la réponse fréquentielle

 

3.7.

exercices non résolus

 

 

3.7.1.

Exercice 1 : Analyse fréquentielle et temporelle d’un système Electrique

Exercice 2 : Tracé des lieux de transfert

Exercice 3 : Etude d’un système d’ordre 1

Exercice 4 : Analyse statique et transitoire d’une régulation de niveau

Exercice 5 : Analyse temporelle et fréquentielle d’un servomécanisme

 

 

 

 

 

CH. 4.

STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS

 

4.1.

position du problème et définitions

 

 

4.1.1.

Définitions

 

 

4.1.2.

Fonction de transfert et stabilité

 

 

4.1.3.

Condition de stabilité

 

 

4.1.4.

Application aux systèmes bouclés

 

4.2.

critères de stabilité

 

 

4.2.1.

Critère algébrique de Routh

 

 

 

4.2.1.1.

Condition nécessaire

 

 

 

4.2.1.2.

Enoncé du critère de Routh

 

 

 

4.2.1.3.

Exemples

 

 

4.2.2.

Critère algébrique de Hurwitz

 

 

4.2.3.

Critère graphique de Nyquist

 

 

 

4.2.3.1.

Intérêt des critères graphiques

 

 

 

4.2.3.2.

Contour d’exclusion de Nyquist

 

 

 

4.2.3.3.

Diagramme de stabilité de Nyquist

 

 

 

4.2.3.4.

Application aux systèmes asservis

 

 

 

4.2.3.5.

Exemples d’application

 

 

4.2.4.

Critère graphique de Revers

 

 

 

4.2.4.1.

Critère de Revers à partir du diagramme de Nyquist

 

 

 

4.2.4.2.

Critère de Revers à partir du diagramme de Bode

 

 

 

4.2.4.3.

Critère de Revers à partir du diagramme de Black

 

4.3.

marges de stabilité188

 

 

4.3.1.

Intérêt des marges de stabilité

 

 

4.3.2.

Définition des marges de stabilité

 

 

4.3.3.

Détermination des marges de stabilité

 

 

 

4.3.3.1.

Détermination à partir de la fonction de transfert

 

 

 

4.3.3.2.

Détermination graphique à partir des diagrammes de Nyquist

 

 

 

4.3.3.3.

Détermination graphique à partir du diagramme de Bode

 

 

 

4.3.3.4.

Détermination graphique à partir du diagramme Black

 

 

4.3.4.

Autre indicateur du degré de stabilité193

 

4.4.

Exemple d’application

 

4.5.

Stabilité et comportement transitoire

 

4.6.

Exercices non résolus

 

 

 

Exercice 1 : Etude de la stabilité d’un asservissement de position angulaire

Exercice 2 : Analyse de la stabilité d’une boucle de régulation de niveau

Exercice 3 : Stabilité dans le plan de Bode et Black

Exercice 4 : Régulation de débit massique

   

CH. 5.

Précision des systèmes asservis

 

5.1.

Introduction

 

 

5.1.1.

Présentation du problème de la précision

 

 

5.1.2.

Illustrations

 

 

5.1.3.

Structures des fonctions de transfert

 

5.2.

analyse de la précision - fonctionnement en asservissement

 

 

5.2.1.

Définition

 

 

5.2.2.

Erreur statique

 

 

5.2.3.

Erreur de traînage

 

 

5.2.4.

Erreur en accélération

 

5.3.

Analyse de la précision - fonctionnement en régulation

 

 

5.3.1.

Présentation du problème

 

 

5.3.2.

Erreur statique

 

 

5.3.3.

Erreur de traînage et généralisation

 

5.4.

Dilemme stabilité – précision

 

5.5.

Exemple de synthèse

 

5.6.

Exercices non résolus

 

 

 

Exercice 1 : Régulation de niveau

Exercice 2 : Précision d’un enregistreur graphique

 

 

 

 

CH. 6.

Correction des systèmes asservis

 

6.1.

Position du problème de la correction

 

6.2.

Eléments constitutifs d’une boucle de régulation

 

6.3.

les différents blocs et fonctions des régulateurs pid industriels

 

 

6.3.1.

Aspect matériel

 

 

6.3.2.

Principales fonctions des régulateurs industriels

 

 

6.3.3.

Classification des régulateurs

 

6.4.

Etude des actions PID239

 

 

6.4.1.

Régulateur proportionnel (P)

 

 

 

6.4.1.1.

Présentation

 

 

 

6.4.1.2.

Caractéristique fréquentielle

 

 

 

6.4.1.3.

Analyse de l’action P

 

 

6.4.2.

Régulateur intégrateur pur ( I )

 

 

 

6.4.2.1.

Présentation

 

 

 

6.4.2.2.

Caractéristique fréquentielle

 

 

 

6.4.2.3.

Analyse de l’action I

 

 

6.4.3.

Analyse de l’action I

 

 

 

6.4.3.1.

Présentation

 

 

 

6.4.3.2.

Caractéristique fréquentielle

 

 

 

6.4.3.3.

Analyse de l’action D

 

 

6.4.4.

Régulateur Proportionnel Intégrateur Dérivé PID

 

 

 

6.4.4.1.

Présentation

 

 

 

6.4.4.2.

Caractéristique fréquentielle

 

 

 

6.4.4.3.

Synthèse sur les actions PID

 

 

6.4.5.

Structure des régulateurs électroniques

 

 

6.4.6.

Passage d’une structure à une autre

 

6.5.

Réalisation matérielle des régulateurs

 

 

6.5.1.

Réalisation à base de montages à contre-réaction

 

 

 

6.5.1.1.

Principe

 

 

 

6.5.1.2.

Exemple de réalisation

 

 

6.5.2.

Réalisation à base des amplificateurs opérationnels

 

 

 

6.5.2.1.

Principe

 

 

 

6.5.2.2.

Exemples de réalisation

 

6.6.

Méthodes de réglages des paramètres du régulateur PID

 

 

6.6.1.

Méthodes empiriques de Ziegler & Nichols

 

 

 

6.6.1.1.

Méthode de Ziegler & Nichols en boucle ouverte

 

 

 

6.6.1.2.

Méthode de Ziegler & Nichols en boucle fermée

 

 

6.6.2.

Méthode empirique : Méthode de Cohen-Coon

 

 

6.6.3.

Méthode empirique : Méthode de la réglabilité

 

 

6.6.4.

Méthode empirique : méthode de réglage en ligne

 

 

6.6.5.

Exemple de synthèse sur les méthodes empiriques

 

 

6.6.6.

Bilan sur les diverses méthodes empiriques

 

6.7.

Méthodes directes de réglage des pid

 

 

6.7.1.

Méthode du modèle : Orientation boucle fermée

 

 

 

6.7.1.1.

Principe

 

 

 

6.7.1.2.

Exemples

 

 

6.7.2.

Méthode du modèle : Orientation boucle ouverte

 

 

 

6.7.2.1.

Régulation idéale

 

 

 

6.7.2.2.

Régulation  parfaite

 

 

6.7.3.

Le point sur la méthode du modèle

 

6.8.

Méthode fréquentielle

 

6.9.

Schémas de la régulation avancée

 

 

6.9.1.

Régulation cascade

 

 

 

6.9.1.1.

Principe

 

 

 

6.9.1.2.

Exemple : Procédé de séchage des solides en continu

 

 

6.9.2.

Régulation prédictive

 

 

 

6.9.2.1.

Principe

 

 

 

6.9.2.2.

Exemple : Procédé de séchage des solides en continu

 

 

6.9.3.

Régulation de rapport (ratio control)

 

 

 

6.9.3.1.

Le principe

 

 

 

6.9.3.2.

Exemple

 

6.10.

Exercices non résolus

     

Exercice 1 : Régulation de température d’un dégazeur Thermique

Exercice 2 : Etude d’une boucle d’asservissement de vitesse

Exercice 3 : Etude d’un système de chauffage domestique

Exercice 5 : Régulation de la concentration lors de la fabrication du sérum

 

 

 

 

Annxe1 : Table de transformées de Laplace

 

 

 

 

 

Annexe 2 : Caractéristiques temporelles et fréquentielles des systèmes d’ordre 2

 

 

 

 

 

Annexe 3 : Abaque de Caldwell

 

 

 

 

 

Bibliographie